Özdeşlikler Konu Anlatımı

0 23

[alert color=”warning”]Kazanım: Özdeşlikleri modellerle açıklar. [/alert]

Özdeşlik Nedir?

[alert color=”primary”]Bilgi: Bilinmeyenine verilen her değer için doğru olan açık eşitliklere özdeşlik denir. [/alert]

Verilen eşitlik sadece bir kaç sayı değeri için eşitliği sağlıyor ise özdeşlik değildir(denklem) denir.Verilen eşitlik tüm gerçek sayılar için eşitliği sağlıyor ise özdeşlik denir.

Örneğin

4x-7=2x+5 eşitliği özdeşlik mi özdeşlik değil mi bulalım.

x=1 için eşitlik sağlanır mı bakalım

4·1-7=2·1+5

4-7=2+5

-3≠7

x=2 için eşitlik sağlanır mı bakalım.

4·2-7=2·2+5

8-7=4+5

1≠9

Yukarıda verdiğimiz iki değerden biri için eşitlik sağlanırken diğeri için eşitlik sağlanmadı.Bu yüzden 4x-7=2x+5 eşitliği özdeşlik değildir.(denklem)

3x-9=3(x-3) eşitliği özdeşlik mi özdeşlik değil mi bulalım.

x=1 için eşitlik sağlanır mı bakalım

3·1-9=3·(1-3)

3-9=3·(-2)

-6=-6

x=2 için eşitlik sağlanır mı bakalım.

3·2-9=3·(2-3)

6-9=3·(-1)

-3=-3

Yukarıda verdiğimiz iki değerden ikisi içinde eşitlik sağlanır Başka değer vermeye devam etsek de eşitlik sağlanır.Bu yüzden 3x-9=3(x-3) eşitliği özdeşliktir.

 [alert color=”primary”]Bilgi:Verilen cebirsel ifadenin özdeşlik olup olmadığını anlamak için eşitliğin sağındaki cebirsel ifade ile eşitliğin solundaki cebirsel ifadenin aynı olup olmadığına bakarız Eşitliğin her iki tarafı da aynı çıkıyor ise özdeşliktir denir. [/alert]

Örnek: 30a-18=6·(5a-3) eşitliği özdeşlik mi bakalım.

Eşitliğin sağ tarafındaki dağılma özelliğini yapalım

6·(5a-3)

6·5a – 6·3

30a-18 eşitliğin sol tarafındaki ifadeye eşit çıktı

Eşitliğin sol tarafı sağ tarafına eşit çıktığı için 30a-18=6·(5a-3) eşitliği özdeşliktir denir.

Önemli Özdeşlikler

Şimdi sorularda çok sık karşımıza çıkan önemli özdeşlikleri inceleyelim

Tam Kare Özdeşliği

Tam kare özdeşliği iki terimin toplamının karesi (x+y)2 ve iki terimin farkının karesi (x-y)2 olmak üzere iki farklı şekilde ifade edilmektedir.

İki Terimin Toplamının Karesi

[alert color=”primary”]Bilgi: İki terimin toplamının karesi, bu iki terimin kareleri ile bu iki terimin çarpımının iki katının toplamına eşittir.
✅ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

✅ Bu durumu birinci terimin karesi , ikinci terimin karesi ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının toplamı olarak da açıklayabiliriz. [/alert]

Örnek: Aşağıda verilen özdeşliklerin açılımını yapalım.

✅ (a+3)2 = ?

Birinci terimin karesi

a2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·a·3

6a

İkinci terimin karesi

32

9

Birinci terimin karesi , ikinci terimin karesi ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının toplamı

a2 + 6a + 9

✅ (2b+4)2 = ?

Birinci terimin karesi

(2b)2

4b2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·b·4

8b

İkinci terimin karesi

42

16

Birinci terimin karesi , ikinci terimin karesi ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının toplamı

4b2 + 8b + 16

İki Terimin Farkının Karesi

[alert color=”primary”]Bilgi: İki terimin farkının karesi, bu iki terimin kareleri toplamından bu iki terimin çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir.

✅ (a + b)2 = a2 – 2ab + b2

✅ Bu durumu birinci terimin ve ikinci terimin karesinin toplamından ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının farkı olarak da açıklayabiliriz. [/alert]

Örnek: Aşağıda verilen özdeşliklerin açılımını yapalım.

✅ (a-5)2 = ?

Birinci terimin karesi

a2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·a·5

10a

İkinci terimin karesi

52

25

Birinci terimin ve ikinci terimin karelerinin toplamından ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının çıkarılması

a2 – 10a + 25

✅ (5b-6)2 = ?

Birinci terimin karesi

(5b)2

25b2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·5b·6

60b

İkinci terimin karesi

62

36

Birinci terimin ve ikinci terimin karelerinin toplamından ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının çıkarılması

25b2 – 60b + 36

İki Kare Farkı Özdeşliği

[alert color=”primary”]Bilgi: İki terimin karelerinin farkı, bu iki terimin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

✅ a2 − b2 = (a − b) . (a + b) [/alert]

Örnek: Aşağıda verilen ifadelerin özdeşliklerini yazınız.

✅ x2 – 9y2 = ?

Birinci terim x’in karesi x2 = x2

İkinci terim 3y’nin karesi (3y)2 =9y2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı x2 – 9y2

İki terimin toplamı ile farkının çarpımı (x+3y)·(x-3y)

x2 – 9y2 = (x+3y)·(x-3y)

✅ 25 – 16a2 = ?

Birinci terim 3’ün karesi 32 = 9

İkinci terim 4a’nın karesi (4a)2 =16a2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı 9 – 16a2

İki terimin toplamı ile farkının çarpımı (3+4a)·(3-4a)

9 – 16a2 = (3+4a)·(3-4a)

✅ (3x+5a)·(3x-5a) = ?

Birinci terimin karesi (3x)2 = 9x2

İkinci terimin karesi (5a)2 =25a2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı 9x2 – 25a2

(3x+5a)·(3x-5a) = 9x2 – 25a2

İki Kare Farkı Özdeşliği Modellemesi

Yeni Nesil Soru

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Soru: Slot makinesi oyununu cebirsel ifadelere uyarlayan Sena oyunu aşağıdaki gibi tasarlamıştır.

Yukarıda verilen görseldeki ifadelere göre (2a+-2)1 = 2a-2

Sena ”SONUÇ GİR” ekranına 2a-2 yazdığında oyunu kazanır,başka bir ifade girdiğinde oyunu kaybeder.

Slot makinesinin kolunu iki defa çeviren Sena birincisinde oyunu kaybetmiş,ikincisinde oyunu kazanmış ve aşağıdaki görselde 1. ve 2. çevirme sonucu oluşan görüntüler verilmiştir.

Buna göre Sena 1.çevirme ve 2.çevirme sonucunda ”SONUÇ GİR” ekranına aşağıdakilerden hangisini girmiş olabilir?

1.Çevirme 2.Çevirme
A) (3a+b)·(3a-b)4b2 +12ab +9b2
B) (3a+b)·(3a-b) 4b2 – 12ab +9b2
C) (3a+7b)·(3a-7b) 4b2 +12ab +9b2
D) (3a+7b)·(3a-7b) 4b2 – 12ab +9b2

Çözüm:

Konu anlatımının devamı için tıklayınız..

Cevap bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert