Özdeşlikler Konu Anlatımı

Matematik 8. Sınıf konu anlatım

Özdeşlik Nedir?

Verilen eşitlik sadece bir kaç sayı değeri için eşitliği sağlıyor ise özdeşlik değildir(denklem) denir.Verilen eşitlik tüm gerçek sayılar için eşitliği sağlıyor ise özdeşlik denir.

Örneğin

4x-7=2x+5 eşitliği özdeşlik mi özdeşlik değil mi bulalım.

x=1 için eşitlik sağlanır mı bakalım

4·1-7=2·1+5

4-7=2+5

-3≠7

x=2 için eşitlik sağlanır mı bakalım.

4·2-7=2·2+5

8-7=4+5

1≠9

Yukarıda verdiğimiz iki değerden biri için eşitlik sağlanırken diğeri için eşitlik sağlanmadı.Bu yüzden 4x-7=2x+5 eşitliği özdeşlik değildir.(denklem)

3x-9=3(x-3) eşitliği özdeşlik mi özdeşlik değil mi bulalım.

x=1 için eşitlik sağlanır mı bakalım

3·1-9=3·(1-3)

3-9=3·(-2)

-6=-6

x=2 için eşitlik sağlanır mı bakalım.

3·2-9=3·(2-3)

6-9=3·(-1)

-3=-3

Yukarıda verdiğimiz iki değerden ikisi içinde eşitlik sağlanır Başka değer vermeye devam etsek de eşitlik sağlanır.Bu yüzden 3x-9=3(x-3) eşitliği özdeşliktir.

Ozdeslikleri modellerle aciklar.

Örnek: 30a-18=6·(5a-3) eşitliği özdeşlik mi bakalım.

Eşitliğin sağ tarafındaki dağılma özelliğini yapalım

6·(5a-3)

6·5a – 6·3

30a-18 eşitliğin sol tarafındaki ifadeye eşit çıktı

Eşitliğin sol tarafı sağ tarafına eşit çıktığı için 30a-18=6·(5a-3) eşitliği özdeşliktir denir.

Önemli Özdeşlikler

Şimdi sorularda çok sık karşımıza çıkan önemli özdeşlikleri inceleyelim

Tam Kare Özdeşliği

Tam kare özdeşliği iki terimin toplamının karesi (x+y)2 ve iki terimin farkının karesi (x-y)2 olmak üzere iki farklı şekilde ifade edilmektedir.

İki Terimin Toplamının Karesi

Ozdeslikleri modellerle aciklar2.

Örnek: Aşağıda verilen özdeşliklerin açılımını yapalım.

✅ (a+3)2 = ?

Birinci terimin karesi

a2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·a·3

6a

İkinci terimin karesi

32

9

Birinci terimin karesi , ikinci terimin karesi ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının toplamı

a2 + 6a + 9

✅ (2b+4)2 = ?

Birinci terimin karesi

(2b)2

4b2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·b·4

8b

İkinci terimin karesi

42

16

Birinci terimin karesi , ikinci terimin karesi ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının toplamı

4b2 + 8b + 16

Ozdeslikleri modellerle aciklar3.

İki Terimin Farkının Karesi

Ozdeslikleri modellerle aciklar4.

Örnek: Aşağıda verilen özdeşliklerin açılımını yapalım.

✅ (a-5)2 = ?

Birinci terimin karesi

a2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·a·5

10a

İkinci terimin karesi

52

25

Birinci terimin ve ikinci terimin karelerinin toplamından ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının çıkarılması

a2 – 10a + 25

✅ (5b-6)2 = ?

Birinci terimin karesi

(5b)2

25b2

Birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı

2·5b·6

60b

İkinci terimin karesi

62

36

Birinci terimin ve ikinci terimin karelerinin toplamından ve birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katının çıkarılması

25b2 – 60b + 36

Ozdeslikleri modellerle aciklar5.

İki Kare Farkı Özdeşliği

Ozdeslikleri modellerle aciklar6.

Örnek: Aşağıda verilen ifadelerin özdeşliklerini yazınız.

✅ x2 – 9y2 = ?

Birinci terim x’in karesi x2 = x2

İkinci terim 3y’nin karesi (3y)2 =9y2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı x2 – 9y2

İki terimin toplamı ile farkının çarpımı (x+3y)·(x-3y)

x2 – 9y2 = (x+3y)·(x-3y)

✅ 25 – 16a2 = ?

Birinci terim 3’ün karesi 32 = 9

İkinci terim 4a’nın karesi (4a)2 =16a2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı 9 – 16a2

İki terimin toplamı ile farkının çarpımı (3+4a)·(3-4a)

9 – 16a2 = (3+4a)·(3-4a)

✅ (3x+5a)·(3x-5a) = ?

Birinci terimin karesi (3x)2 = 9x2

İkinci terimin karesi (5a)2 =25a2

Birinci terim ile ikinci terimin kareleri farkı 9x2 – 25a2

(3x+5a)·(3x-5a) = 9x2 – 25a2

İki Kare Farkı Özdeşliği Modellemesi

Ozdeslikleri modellerle aciklar7.

Yeni Nesil Soru

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Soru: Slot makinesi oyununu cebirsel ifadelere uyarlayan Sena oyunu aşağıdaki gibi tasarlamıştır.

Ozdeslikleri modellerle aciklar8.

Yukarıda verilen görseldeki ifadelere göre (2a+-2)1 = 2a-2

Sena ”SONUÇ GİR” ekranına 2a-2 yazdığında oyunu kazanır,başka bir ifade girdiğinde oyunu kaybeder.

Slot makinesinin kolunu iki defa çeviren Sena birincisinde oyunu kaybetmiş,ikincisinde oyunu kazanmış ve aşağıdaki görselde 1. ve 2. çevirme sonucu oluşan görüntüler verilmiştir.

Ozdeslikleri modellerle aciklar9. Ozdeslikleri modellerle aciklar10.

Buna göre Sena 1.çevirme ve 2.çevirme sonucunda ”SONUÇ GİR” ekranına aşağıdakilerden hangisini girmiş olabilir?

1.Çevirme 2.Çevirme
A) (3a+b)·(3a-b)4b2 +12ab +9b2
B) (3a+b)·(3a-b) 4b2 – 12ab +9b2
C) (3a+7b)·(3a-7b) 4b2 +12ab +9b2
D) (3a+7b)·(3a-7b) 4b2 – 12ab +9b2

Çözüm:

Konu anlatımının devamı için tıklayınız..