Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Konu Anlatımı

Matematik 8. Sınıf konu anlatım

Bu başlıkta iki üçgenin açı ve kenarlarının birbirine eşit olmasını (eşlik) ve iki üçgenin açıları birbirine eşit ve kenar uzunlukları orantılı olmasını (benzerlik) inceleyeceğiz.

Üçgenlerde Eşlik

Eşlik şartı

👉🏻 Yukarıdaki görselde verilen iki üçgenin eşit açılarını yazalım.

\textstyle\widehat{A} = \textstyle\widehat{F} = 60°

\textstyle\widehat{B} = \textstyle\widehat{D} = 50°

\textstyle\widehat{C} = \textstyle\widehat{E} = 70°

🙄 Eşit açıları sıralı bir şekilde yazdığımızda ABC üçgeni ile FDE üçgeninin eş olduğunu görürüz. Bunu aşağıdaki gibi gösteririz.

Eslik ve benzerligi iliskilendirir es ve benzer sekillerin kenar ve aci iliskilerini belirler. 2

👉 Yukarıdaki görselde verilen iki üçgenin eşit olan kenarlarını yazalım.

|AB| = |FD| = 8 cm

|BC| = |DE| = 10 cm

|AC| = |FE| = 7 cm

Eslik ve benzerligi iliskilendirir es ve benzer sekillerin kenar ve aci iliskilerini belirler. 3

Eşlik ve benzerlik

Örnek:

Eslik ve benzerligi iliskilendirir es ve benzer sekillerin kenar ve aci iliskilerini belirler. 5

Yukarıda verilen eşliğe göre eşit olan açıları ve eşit olan kenarları yazalım.

👉 Eşit olan açılar ⤵

\textstyle\widehat{K} = \textstyle\widehat{P}

\textstyle\widehat{L} = \textstyle\widehat{R}

\textstyle\widehat{M} = \textstyle\widehat{S}

👉 Eşit olan kenarlar ⤵

|KL| = |PR|

|LM| = |RS|

|KM| = |PS|

Üçgenlerde Eşlik Şartları

İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları ve tüm açılarının ölçüleri eşitse bu iki üçgenin birbirine eş olduğunu yukarıda anlattık. Ancak iki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman sorularda verilmeyebilir. Böyle durumlarda verilen bilgilere bakarak iki üçgenin eş olup olmadığına karar verebiliriz. Bunun için aşağıda verilen başlıklardaki eşlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında aşağıda verilen şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen birbirine eştir diyebiliriz.

1) Kenar-Kenar-Kenar Eşlik Şartı (KKK)

Kenar kenar kenar eşli̇ği̇

Yukarıda verilen iki üçgeninin kenarlarını inceleyelim.

|KL| = |TV| = 9 cm

|KM| = |UV| = 10 cm

|LM| = |TU| = 11 cm

🤓 Yukarıda verilen iki üçgeni karşılaştırdığımızda karşılıklı kenarlarının eş olduğunu bulduk. Bu durumda bu iki üçgen arasında kenar kenar kenar eşliği vardır diyebiliriz. Ama bu eşliği yazarken doğru sırayla yazmamız lazım.

Eşlik ve benzerlik

🤓 Yukarıda verilen görsele göre sıralamaya dikkat ederek Kenar Kenar Kenar üçgen eşliğini aşağıdaki gibi yazarız.

Eşli̇k şarti

Örnek:

Eş olan üçgenleri belirler

Yukarıda kareli zeminde verilen ABC ve DEF üçgenleri bir birine eş mi bulalım?

👉 Eğik olan AC ve FD kenarları hipotenüs olacak şekilde dik üçgen oluşturalım.

Kareli zeminde eş olan kenarları bulma

AC kenarında oluşan dik üçgen 3-4-5 dik üçgenidir. |AC| = 5 br olur.

DF kenarında oluşan dik üçgen 3-4-5 dik üçgenidir. |DF| = 5 br olur.

|AC| = |DF| olur.

👉 Eğik olan AB ve FE kenarları hipotenüs olacak şekilde dik üçgen oluşturalım.

Kareli̇ zemi̇nde eşli̇k

AB kenarında oluşan dik üçgen 22 + 42 = |AB|2

|AB|2 = 4+16

|AB|2 = 20

|AB|= \sqrt {20 } br

FE kenarında oluşan dik üçgen 22 + 42 = |FE|2

|FE|2 = 4+16

|FE|2 = 20

|FE|= \sqrt {20 } br

|AB| = |FE| olur.

👉 BC ve DE kenarlarını saydığımızda ikiside 5 br ‘dir.

|BC| = |DE| olur.

ABC ve DEF üçgenini karşılaştırdığımızda karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olduğunu bulduk. Bu durumda bu iki üçgen birbirine eş üçgenlerdir. Bu eşitliği eşit olan kenarlar sıralı olacak şekilde aşağıdaki gibi yazarız.

ABC ≅ FED

2) Kenar – Açı – Kenar Eşlik Şartı (KAK)

Kenar açı kenar eşliği

Yukarıdaki görselde verilen DEF ve ABC üçgenlerini incelediğimizde iki kenarı ve bu iki kenarın arasında kalan açının eşit olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşliği vardır denir. Şimdi bu eşliği nasıl yazacağımızı aşağıdaki görseli inceleyerek öğrenelim.

Üçgende eşli̇k

Bu eşliği yazarken yukarıda verilen görseldeki gibi sıraya dikkat ederek yazarız.

EFD ≅ ABC

3) Açı – Kenar – Açı Eşlik Şartı (AKA)

Açı kenar açı eşliği

Yukarıdaki görselde verilen DEF ve ABC üçgenlerini incelediğimizde iki açısı ve bu iki açının arasında kalan kenarının eşit olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) eşliği vardır denir. Şimdi bu eşliği nasıl yazacağımızı aşağıdaki görseli inceleyerek öğrenelim.

Açi kenar açi eşli̇ği̇

Bu eşliği yazarken yukarıda verilen görseldeki gibi sıraya dikkat ederek yazarız.

DEF ≅ CBA

4) Kenar – Açı – Açı Eşlik Şartı (KAA)

Kenar açi açi eşli̇ği̇

Yukarıdaki görselde verilen DEF ve ABC üçgenlerini incelediğimizde iki açısı ve bu iki açının karşısındaki kenarın eşit olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Kenar-Açı-Açı (KAA) eşliği vardır denir. Şimdi bu eşliği nasıl yazacağımızı aşağıdaki görseli inceleyerek öğrenelim.

Açi kenar açi eşli̇ği̇

Bu eşliği yazarken yukarıda verilen görseldeki gibi sıraya dikkat ederek yazarız.

DEF ≅ CBA

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

 

📌 İki üçgenin benzerliği “∼” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada olacak şekilde yazılmalıyız. Örneğin ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer ise bu benzerliği ABC∼DEF şeklinde gösteririz.

📌 Benzer iki üçgende karşılıklı kenarları oranlarsak bu oranlar bir sayıya eşit olur. Bu sayıya benzerlik oranı denir. Genelde k harfi ile gösterilir.

Örnek:

Üçgende benzerlik

Yukarıdaki görselde verilen üçgenin benzer olup olmadığını inceleyelim.

👉 Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olmalı

\textstyle\widehat{D} = \textstyle\widehat{C}

\textstyle\widehat{E} = \textstyle\widehat{A}

\textstyle\widehat{F} = \textstyle\widehat{B}

👉 Eş olan açıların karşısındaki kenarlarının uzunlukları orantılı olmalı

  \dfrac{DE}{AC} = \dfrac{9}{3} = \dfrac{3}{1}

  \dfrac{EF}{AB} = \dfrac{12}{4} = \dfrac{3}{1}

  \dfrac{DF}{BC} = \dfrac{6}{2} = \dfrac{3}{1}

🤓 İki üçgeni karşılaştırdığımızda karşılıklı açıların ölçüleri eşit ve eşit olan aşıların karşısındaki açılar orantılı olduğu için bu iki üçgen benzerdir.

🤓 Bu iki üçgenin benzerlik oranı \dfrac{3}{1} ‘dir.

ÜÇGENLERDE BENZERLİK ŞARTLARI

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için her zaman tüm kenarları ve tüm açıları verilmeyebilir. Böyle durumlarda verilen bilgililere bakarak iki üçgenin benzer olup olmadığına karar verebiliriz. Bunun için aşağıdaki benzerlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen benzerdir diyebiliriz.İki üçgenin benzerliği “∼” sembolü ile gösterilir.

1) Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Şartı (KKK)

Kenar kenar kenar benzerliği

Yukarıda verilen iki üçgenin kenar uzunluklarını oranladığımızda oranlarının birbirine eşit olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Kenar-Kenar-Kenar benzerliği vardır denir. Bu benzerliği yazarken sıraya dikkat ederek yazmalıyız.

🤓 Kenar-Kenar-Kenar benzerliğini doğru sırayla yazmak için aşağıdaki yöntemi kullanabiliriz.

Benzerlik sırasına göre yazma

🤓 Kenar kenar kenar benzerliğinde orantılı kenarları gören açıların ölçüleri de eşittir.

2) Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Şartı (KAK)

Kenar açı kenar benzerliği

Yukarıda verilen iki üçgenin kenar uzunluklarını oranladığımızda iki kenarın oranlarının birbirine eşit ve oranları eşit olan kenarların arasında kalan açıların olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Kenar-Açı-Kenar benzerliği vardır denir. Bu benzerliği yazarken sıraya dikkat ederek yazmalıyız.

🤓 Kenar – Açı – Kenar benzerliğini doğru sırayla yazmak için aşağıdaki yöntemi kullanabiliriz.

Benzerlik sırasına göre yazma

3) Açı – Açı Benzerlik Şartı (AA)

Açi açi benzerli̇ği̇

Yukarıda verilen iki üçgenin karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olduğunu görürüz. Bu durumda bu iki üçgen arasında Açı-Açı benzerliği vardır denir. Bu benzerliği yazarken sıraya dikkat ederek yazmalıyız.

🤓 Açı-Açı benzerliğini doğru sırayla yazmak için aşağıdaki yöntemi kullanabiliriz.

Açı açı benzerlik şartı

EŞLİK VE BENZERLİK İLE İLGİLİ PRATİK BİLGİLER

🤓 Her eş üçgen aynı zamanda benzerdir, ancak her benzer üçgen aynı zamanda eş üçgen olmak zorunda değildir.

🤓 Benzer üçgenlerin benzerlik oranı 1 ise bu iki üçgen aynı zamanda eş üçgenlerdir.

🤓 İki üçgenin benzerlik oranı k ise çevrelerinin , kenarortaylarının ,açıortaylarının ve yüksekliklerinin oranı da kg’dır.

Örneğin iki üçgenin benzerlik oranı 3 ise bu iki üçgenin çevrelerinin , kenarortaylarının ,açıortaylarının ve yüksekliklerinin oranı da 3’dür.

🤓 İki üçgenin benzerlik oranı k ise alanları oranı da k2‘dir.

Örneğin iki üçgenin benzerlik oranı 3 ise bu iki üçgenin alanları oranı 9’dur.

Yeni Nesil Soru

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Soru: KLM∼DEF ve |LM|=10 cm , |EF|=15 cm ve |KM|=6 cm olduğuna göre ;

  • m( \widehat{MLK} ) = m( \widehat{FED} )        
  • |DE|= 9 cm
  • KLM üçgeninin alanı 8 cm2 ise DEF üçgeninin alanı 9 cm2 ‘dir.
  • KLM üçgeninin LM kenarına ait kenarortayı 14 cm ise DEF üçgeninin EF kenarına ait kenarortayı 21 cm’dir.
  • |KL|= 12 cm

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

A) 5B) 4C) 3D) 2

Çözüm: