Pisagor Bağıntısını Oluşturma ve İlgili Problemleri Çözme

Matematik 8. Sınıf konu anlatım
Pisagor Bağıntısı
BU KONUDA ÖĞRENECEĞİZ :

⏩ Pisagor Teoremi Nedir?

⏩ Pisagor Teoremi Ne İşe Yarar?

⏩ Kenar Uzunlukları Tam Sayı Olan Özel Dik Üçgenler

Aşağıda verilen görselde dik üçgene ait pisagor bağıntısı verilmiştir.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer2.

Örnek:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer3.

Yukarıda verilen ABC dik üçgeninde hipotenüsün uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

✅ Dik kenarların karelerinin toplamı , hipotenüsün karesine eşittir.

62 + 82 = x2

36 + 64 = x2

100 = x2 ( Hangi sayının karesi 100 yapar )

x = 10 cm

✅ 100 = x2 ifadesinde x’i bulurken her iki tarafın karekökünü alabiliriz.

\sqrt {x^2}=\sqrt {100}

x^2 karekök dışına x olarak çıkar. 100 karekök dışına 10 olarak çıkar.

x=10 cm

Örnek:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer4.

Yukarıda verilen ABC dik üçgeninde dik kenarın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

✅ Dik kenarların karelerinin toplamı , hipotenüsün karesine eşittir.

122 + x2 = 132

144 + x2 = 169

x2 = 169 – 144

x2 = 25 ( Hangi sayının karesi 25 yapar )

x = 5 cm

✅ x2 = 25 ifadesinde x’i bulurken her iki tarafın karekökünü alabiliriz.

\sqrt {x^2}=\sqrt {25}

x^2 karekök dışına x olarak çıkar. 25 karekök dışına 5 olarak çıkar.

x = 5 cm

Örnek:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer9.

Yukarıda verilen ABC dik üçgeninde dik kenarın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

✅ Dik kenarların karelerinin toplamı , hipotenüsün karesine eşittir.

72 + x2 = 92

49 + x2 = 81

x2 = 81 – 49

x2 = 32 ( Hangi sayının karesi 32 yapar )

Buradan x ‘i bulmamız zor olacağı için aşağıdaki yönteme göre x ‘i bulalım.

✅ x2 = 32 ifadesinde x’i bulurken her iki tarafın karekökünü alabiliriz.

\sqrt {x^2}=\sqrt {32}

x^2 karekök dışına x olarak çıkar.

32 karekök dışına çıkmaz \sqrt {32} olarak kalır.

\sqrt {32} ifadesini 4\sqrt {2} ifadesine dönüştürürüz.

x = 4\sqrt {2} cm

KENAR UZUNLUKLARI TAM SAYI OLAN ÖZEL DİK ÜÇGENLER

Bazı dik üçgenler sorularda sıkça sorulmaktadır.Bu dik üçgenlerde pisagor bağıntısını kullanarak istenen kenarı bulabiliriz.Ancak bu sıkça sorulan dik üçgenleri ezberleyerek pisagor bağıntısı yapmadan hızlı bir şekilde bulabiliriz.Bu şekilde diğer sorulara zaman kazanmış oluruz.Şimdi bu sıkça sorulan üçgenleri inceleyelim.

(3-4-5) Dik Üçgeni:

Kenar uzunlukları (3 – 4 – 5) sayıları veya bu sayıların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir.

(6 – 8 – 10), (9 – 12 – 15), … gibi.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer5.

(5-12-13) Dik Üçgeni:

Kenar uzunlukları (5 – 12 – 13) sayıları ve bu sayıların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir.

(10 – 24 – 26), (15 – 36 – 39),(20 – 48 – 52), … gibi.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer6.

(8-15-17) Dik Üçgeni:

Kenar uzunlukları (8 – 15 – 17) sayıları ve bu sayıların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir.

(16 – 30 – 34), (24 – 45 – 51),(32 – 60 – 68), … gibi.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer7.

(7-24-25) Dik Üçgeni:

Kenar uzunlukları (7– 24– 25) sayıları ve bu sayıların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir.

(14– 48– 50), (21– 72– 75),(28– 96– 100), … gibi.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer8.

Örnek:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer11.

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre |AE| kaç cm ‘dir?

✅ Kenar bilgisi en fazla verilen ABC üçgeninden başlamalıyız.

ABC üçgeninde pisagor bağıntısını uygulayalım.

62 + 42 = |AC|2

36 + 16 = |AC|2

52 = |AC|2 ( iki tarafın karekökünü alırız.) 💡

\sqrt {52} = \sqrt {|AC|^2}

|AC|2 kök dışına |AC| olarak çıkar. \sqrt {52} ifadesi kök dışına çıkmaz.

|AC| = \sqrt {52} cm

✅ Şimdi pisagor bağıntısını ACD üçgenine uygulayalım.

\sqrt {52}2 + 32 = |AD|2 (\sqrt {52} ‘nin karesi 52 olur)💡

52 + 9 = |AD|2

61 = |AD|2

|AD| = \sqrt {61} cm

✅ Şimdi pisagor bağıntısını ADE üçgenine uygulayalım.

\sqrt {61}2 + \sqrt {3}2 = |AE|2

(\sqrt {61} ‘in karesi 61 olur.) 💡

(\sqrt {3} ‘ün karesi 3 olur.) 💡

3 + 61 = |AE|2

64 = |AE|2 ( hangi sayının karesi 64 olur.) 💡

|AE| = 8 cm

Kareli Bir Zemin Üzerinde Pisagor Bağıntısını Kullanarak İki Nokta Arasındaki Uzaklığı Hesaplama

Kareli zeminde iki nokta arasındaki uzaklığı pisagor bağıntısına göre hesaplayabilmek için noktalar aynı doğrultuda olmamalıdır.Noktalar aynı doğrultuda olursa pisagor bağıntısına gerek kalmaz.Direk yatay veya dikey uzunluğunu sayabiliriz.

Örnek:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer12.

Yukarıda kareli zeminde verilen A ve B noktalarının arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

1.Adım: Verilen iki nokta birleştirilir.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer13.

2.Adım: Birleştirdiğimiz bu doğru parçası hipotenüs olacak şekilde dik üçgen oluşturulur.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer14.

3.Adım: Pisagor bağıntısını uygulayıp iki nokta arasındaki uzaklık hesaplanır

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer15.

32 + 62 = |AB|2

9 + 36 = |AB|2

45 = |AB|2 ( her iki tarafın karekökünü alalım )

\sqrt {45} = \sqrt {|AB|^2}

|AB| = \sqrt {45} br

|AB| = 3\sqrt {5} br

Örnek:

Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi veya hangileri dik üçgendir?

✅ |AB| = 9 cm , |BC| = 5 cm , |AC| = 10 cm

En küçük iki kenarın kareleri toplamı

52 + 92 =

25 + 81 =

106

En büyük kenarın karesi

102 =

100

En küçük iki kenarın kareleri toplamı ile En büyük kenarın karesi birbirine eşit değildir.

106 ≠ 100 ( Eşit olmadığı için ABC üçgeni dik üçgen değildir.)

✅ |DE| = 3 cm , |EF| = 3\sqrt {3} cm , |DF| = 6 cm

En küçük iki kenarın kareleri toplamı

32 + (3\sqrt {3})2 =

9 + 27 =

36

En büyük kenarın karesi

62 =

36

En küçük iki kenarın kareleri toplamı ile En büyük kenarın karesi birbirine eşittir.

36 = 36 ( Eşit olduğu için DEF üçgeni dik üçgendir.)

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer17.

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer10.

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥
Soru:

Pisagor bagintisini olusturur ilgili problemleri cozer16.

Yukarıda 120 cm uzunluğunda olan Mustafa’nın saat 8:00 ‘ de gölgesi verilmiştir.Mustafa ve gölgesinin A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe 200 cm ‘dir.Gölgenin boyu güneşin hareketinden dolayı her 20 dakikada 10 cm kısalmaktadır.

Buna göre saat kaçta Mustafa ‘nın boyu ile gölgesi ( A noktası ile B noktası ) arasındaki en kısa mesafe 130 cm olur? ( A noktasının yeri güneşin hareketine göre değişmektedir. )

Çözüm: