Eğim ve Doğrunun Eğimi Konu Anlatımı

0 49

Eğim ve Doğrunun Eğimi

[alert color=”warning”]Kazanım: Doğrunun eğimini modellerle açıklar, doğrusal denklemleri ve grafiklerini eğimle ilişkilendirir. [/alert]

EĞİM NEDİR?

[alert color=”primary”]Bilgi: Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranına eğim denir ve “m” sembolü ile gösterilir. [/alert]

🤔 Sizce yukarıdaki rampalardan hangisine çıkarken daha çok zorlanırız?

😲 2.rampadan çıkarken 1.rampaya göre daha çok zorlanırız. Çünkü 2.rampanın eğimi 1.rampanın eğiminde daha fazladır.

Bir dik üçgende eğim (hipotenüs) dikey uzunluğun yatay uzunluğa bölünmesi ile hesaplanır. Eğimin olduğu uzunluk ile yatay uzunluğun arasında kalan açıya eğim açısı denir.

Örnek:

Yukarıda verilen A,B,C ve D rampalarının eğimini bulalım.

A rampasının eğimi 👇🏻

A rampasının dikey uzunluğu = 5 br

A rampasının yatay uzunluğu = 4 br

A rampasının eğimi = \dfrac{5}{4}

B rampasının eğimi 👇🏻

B rampasının dikey uzunluğu = 5 br

B rampasının yatay uzunluğu = 5 br

B rampasının eğimi = \dfrac{5}{5} =1

C rampasının eğimi 👇🏻

C rampasının dikey uzunluğu = 3 br

C rampasının yatay uzunluğu = 5 br

C rampasının eğimi = \dfrac{3}{5}

D rampasının eğimi 👇🏻

D rampasının dikey uzunluğu = 2 br

D rampasının yatay uzunluğu = 4 br

D rampasının eğimi = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}

[alert color=”danger”]Not: Bir rampanın eğimi verilip dikey veya yatay uzunluklarından biri verilmediğinde verilmeyen uzunluğu bulmak için;

✅ Eğimi hesaplayıp verilen eğime eşitleriz ve içler dışlar çarpımı yapıp verilmeyen uzunluğu buluruz.[/alert]

Örnek:

Yukarıda verilen rampanın yatay uzunluğunu bulalım.

rampanın eğimi = \dfrac{12}{x}

aynı rampanın eğimi \dfrac{6}{5} olarak verilmiş.

Bu iki ifade birbirine eşit olduğu için bu iki ifadeyi birbirine eşitleriz.

\dfrac{12}{x} = \dfrac{6}{5}

içler dışlar çarpımı yaparız.

12·5=6·x

60=6x

x=10 br rampanın yatay uzunluğu

[alert color=”danger”]Not: Eğimi ondalıklı kesir veya yüzde olarak ifade edebiliriz[/alert]

Örnek: \dfrac{7}{10} olarak verilen bir eğimi 0,7 veya %70 olarak da ifade edebiliriz.

 DOĞRUNUN EĞİMİNİ HESAPLAMA

[alert color=”primary”]Bilgi: Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır.

✅ Koordinat sisteminde y eksenine göre sağa yatık doğruların eğimi pozitiftir.

✅ Koordinat sisteminde y eksenine göre sola yatık doğruların eğimi negatiftir.

✅ Koordinat sisteminde x eksenine paralel olan doğruların eğimi sıfırdır.

✅ Koordinat sisteminde y eksenine paralel olan doğruların eğimi tanımsızdır. [/alert]

Aşağıda verilen görsellerde pozitif , negatif , sıfır ve tanımsız eğimlere örnek verilmiştir.

[alert color=”primary”]Bilgi: Koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimini hesaplarken doğru hipotenüs olacak şekilde bir dik üçgen oluşturup oluşturduğumuz dik üçgen üzerinden doğrunun eğimini hesaplarız. [/alert]

Aşağıdaki örnekleri inceleyerek doğrunun eğiminin nasıl hesaplandığını pekiştirelim.

Örnek: Aşağıda koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimini bulalım.

Çözüm:

Yukarıdaki doğruyu incelediğimizde doğrunun koordinat sisteminde oluşturduğu dik üçgenin dikey uzunluğu 3 br , yatay uzunluğu 2 br ‘dir.

O zaman doğrunun eğimi 👉 \dfrac{3}{2}

Örnek: Aşağıda koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimini bulalım.

Çözüm: Yukarıda verilen doğrunun eğimini hesaplayabilmek için doğru hipotenüs olacak şekilde kenarları sayılabilecek bir dik üçgen oluşturmalıyız.

Yukarıdaki doğruyu incelediğimizde doğrunun koordinat sisteminde oluşturduğu dik üçgenin dikey uzunluğu 3 br , yatay uzunluğu 4 br ‘dir.

O zaman doğrunun eğimi 👉 \dfrac{3}{4}

Doğru sola yatık olduğu için eğimi negatif olur 👉 – \dfrac{3}{4}

[alert color=”primary”]Bilgi: Bir doğrunun koordinat sistemi üzerinde  x ekseni ile yaptığı açılardan sağda olanına eğim açısı denir.[/alert]

DENKLEMİ VERİLEN DOĞRUNUN EĞİMİNİ BULMA

[alert color=”primary”]Bilgi: Denklemi y=mx+n şeklinde verilen doğrularda x’in katsayısı doğrunun eğimidir.

👉 y=5x+3 denkleminin eğimi x ‘in katsayısı olan 5 ‘dir. [/alert]

Örnek: Aşağıda denklemi verilen doğruların eğimini hesaplayalım.

➡ y= -2x +7 denkleminin eğimi ⤵

🤓 y= 6x +8 denkleminde x ‘in katsayısı -2 olduğu için denklemin eğimi -2 ‘dir.

➡ y= 6x +8 denkleminin eğimi ⤵

🤓 y= 6x +8 denkleminde x ‘in katsayısı 6 olduğu için denklemin eğimi 6 ‘dır.

➡ y= -8x -11 denkleminin eğimi ⤵

🤓 y= -8x -11 denkleminde x ‘in katsayısı -8 olduğu için denklemin eğimi -8 ‘dir.

[alert color=”danger”]Not: Bir denklemin eğimini hesaplarken y’nin katsayısı 1 değil ise ;

✅ Eşitliğin bir tarafında y terimi , eşitliğin diğer tarafında geriye kalan terimler olacak şekilde düzenlenir.

✅ Sonra eşitliğin her iki tarafı y ‘nin katsayısına bölünür.

✅ x’in katsayısı verilen denklemin eğimi olur.[/alert]

Şimdi aşağıdaki örnekleri inceleyerek y’nin katsayısı 1 olmayan denklemlerin eğimlerinin nasıl hesaplanacağını pekiştirelim.

Örnek: 3y -4x+12=0 denkleminin eğimini bulalım.

✅ Eşitliğin bir tarafında y terimi , eşitliğin diğer tarafında geriye kalan terimler olacak şekilde düzenlenir.

3y -4x+12=0 🤓-4x ve 12 eşitliğin sol tarafına geçecek.

3y=4x-12 🤓 -4x ve 12 eşitliğin sol tarafına geçerken işaretini değiştirir.

✅ Sonra eşitliğin her iki tarafı y ‘nin katsayısına bölünür.

3y=4x-12 🤓 y’nin katsayısı 3 olduğu için her iki tarafı 3’e böleriz.

\dfrac{3y}{3} = \dfrac{4x}{3} \dfrac{12}{3}

✅ x’in katsayısı verilen denklemin eğimi olur.

y= \dfrac{4x}{3} -4

x’in katsayısı \dfrac{4}{3}

3y -4x+12=0 denkleminin eğimi \dfrac{4}{3}

Örnek: 5y + 6x +20=0 denkleminin eğimini bulalım.

✅ Eşitliğin bir tarafında y terimi , eşitliğin diğer tarafında geriye kalan terimler olacak şekilde düzenlenir.

5y + 6x +20=0 🤓 6x ve 20 eşitliğin sol tarafına geçecek.

5y=-6x-20 🤓 6x ve 20 eşitliğin sol tarafına geçerken işaretini değiştirir.

✅ Sonra eşitliğin her iki tarafı y ‘nin katsayısına bölünür.

5y=-6x-20 🤓 y’nin katsayısı 5 olduğu için her iki tarafı 5’e böleriz.

\dfrac{5y}{5} = \dfrac{-6x}{5} \dfrac{-20}{5}

✅ x’in katsayısı verilen denklemin eğimi olur.

y= -\dfrac{6x}{5} -4

x’in katsayısı -\dfrac{6}{5}

5y + 6x +20=0 denkleminin eğimi -\dfrac{6}{5}

İKİ NOKTASI BELLİ OLAN DOĞRUNUN EĞİMİNİ HESAPLAMA

[alert color=”primary”]Bilgi: Üzerindeki iki noktanın koordinatları belli olan doğrunun eğimini hesaplarken y eksenlerinin farkını x eksenlerinin farkına böleriz. [/alert]

Örnek: A(2,6) ve B(4,10) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

👉 y eksenlerin farkını bulalım.

10-6 🤓 ikinci sıradaki y ekseninden birinci sıradaki y eksenini çıkarırız.

4

👉 x eksenlerinin farkını bulalım.

4-2 🤓 ikinci sıradaki x ekseninden birinci sıradaki x eksenini çıkarırız.

2

👉 y eksenlerinin farkını , x eksenlerinin farkına bölelim.

\dfrac{4}{2}

2

Örnek: K(-3,-5) ve L(-2,7) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

👉 y eksenlerin farkını bulalım.

7-(-5) 🤓 ikinci sıradaki y ekseninden birinci sıradaki y eksenini çıkarırız.

7+5 🤓 arda arda eksi artıya dönüşür.

12

👉 x eksenlerinin farkını bulalım.

(-2)-(-3) 🤓 ikinci sıradaki x ekseninden birinci sıradaki x eksenini çıkarırız.

-2+3

1

👉 y eksenlerinin farkını , x eksenlerinin farkına bölelim.

\dfrac{12}{1}

💨 K ve L noktalarından geçen doğrunun eğimi 12’dir.

Yeni Nesil Soru

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Soru:

Yukarıda verilen eşit uzunluktaki demir çubuklar karşısında yazan denklemin eğimine göre aşağıdaki gibi A,B,C ve D rampaları oluşturuluyor.

Bu rampayı tırmanan bisiklet sürücüsünün nabız atış grafiği aşağıdaki gibidir.

Buna göre A,B,C ve D rampası I,II,III ve IV ile gösterilen çubuklardan hangisine aittir?

A) A-IB-IIC-IIID-IV
B)A-IIIB-IC-IID-IV
C)A-IVB-IIIC-ID-II
D)A-IIIB-IIC-IVD-I

Çözüm:

Cevap bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert