Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri Konu Anlatımı

Kazanım: Tam sayıların, tam sayı kuvvetlerini hesaplar.

Üslü İfadeler

Tam sayıların tam sayı kuvvetleri konu anlatımı üslü sayı olarak ifade edilir.

Bilgi: Aynı sayıların tekrarlı çarpımını üslü olarak gösterilmesine üslü sayılar denir. Üslü sayılarda üs tabandaki sayının kaç defa çarpılacağını gösterir.

Örneğin; 4 tane 5’in çarpımını aşağıdaki gibi gösteririz.

✅ 5×5×5×5=5⁴

Bilgi: Tabandaki sayı sıfırdan farklı olmak üzere bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

✅ 8⁰ = 1

✅ 12⁰ = 1

✅ 24⁰ = 1

✅ -8⁰ = -1

Bilgi: Sıfırın pozitif kuvvetleri sıfıra eşittir.

✅ 0⁸ = 0

✅ 0¹⁵ = 0

✅ 0⁸⁵ = 0

Not: 0⁰=Belirsizdir.

Bilgi: Bütün sayıların 1. kuvveti tabandaki sayıya eşittir.

✅ 9¹ = 9

✅ 14¹ = 14

✅ (-25)¹ = -25

✅ -16¹ = -16

Bilgi: Üs 2 olduğu zaman karesi diye okunur. Üs 3 olduğu zaman küp diye okunur.

✅ 7² ➡ Yedinin karesi diye okunur.

✅ 8³ ➡ Sekizin küpü diye okunur.

Örnek: Aşağıda verilen üslü sayıların sonucunu bulunuz.

✅ 4³

➡ Üs tabandaki sayının kaç defa çarpılacağını gösterir.

➡ 4³ = 4×4×4

➡ 64

✅ 3⁵

➡ Üs tabandaki sayının kaç defa çarpılacağını gösterir.

➡ 3⁵ = 3×3×3×3×3

➡ 243

Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti

Üslü sayıların sonucunu hesaplarken önce işaretini hesaplamalıyız. Üslü sayıların işaretini hesaplarken taban pozitif mi yoksa negatif mi olduğuna bakarız.

✅ Taban pozitif olduğunda parantezin ve üssün (kuvvetin) önemi yoktur. Sonuç her zaman pozitiftir.

➡ 4⁷ = pozitif

➡ (5)³ = pozitif

➡ 7^-4 = pozitif

✅ Taban negatif olduğunda parantez yok ise üssün (kuvvetin) bir önemi yoktur. Sonuç her zaman negatiftir.

➡ -3⁷ = negatif

➡ -8³ = negatif

➡ -9^-4 = negatif

✅ Taban negatif olduğunda parantez var ise ; üs (kuvvet) tek ise sonuç her zaman negatif , üs (kuvvet) çift ise sonuç her zaman pozitiftir.

➡ (-3)⁷ = üs tek olduğu için sonuç negatifdir.

➡ (-4)⁶ = üs çift olduğu için sonuç pozitifdir.

➡ (-9)³ = üs tek olduğu için sonuç negatifdir.

➡ (-2)^-8 = üs çift olduğu için sonuç pozitifdir.

Örnek: Aşağıdaki üslü ifadelerin işaretleri verilmiştir.Örnekleri inceleyiniz.

➡ (-7)⁵ = ➖

➡ (-3)⁴ = ➕

➡ -4⁸ = ➖

➡ 4⁵ = ➕

➡ (-8)⁴ = ➕

➡ (-4)^-6 = ➕

Örnek: (-3)³ ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ (-3)³ = üs tek olduğu için sonuç negatif olur.

➡ (-3)³ = -3³ olur.

➡ -3³ = -3×3×3

➡ -27

Örnek: (-2)⁴ ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ (-2)⁴ = üs çift olduğu için sonuç pozitif olur.

➡ (-2)⁴ = 2⁴ olur.

➡ 2⁴ = 2×2×2×2

➡ 16

Örnek: -5² ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ -5² = parantez olmadığı için sonuç negatif olur.

➡ -5² = -5×5

➡ -25

✅ -5² = eksiyi yaz 5 ‘i iki defa çarp demek.

-5² = -5×5

✅ (-5)² = -5 ‘i iki defa çarp demek.

(-5)² = (-5)×(-5)

✅ (-5²) = eksiyi yaz 5 ‘i iki defa çarp demek.

(-5²) = -5×5

Not: Üs parantez içinde ise ise parantezin bir önemi yoktur.

Örnek: (-4² ) ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ (-4² ) = üs parantez içinde olduğu için parantezin bir önemi yoktur.

➡ (-4² ) = -4² olur.

➡ -4² = -4×4

➡ -16

Örnek: (-4)² ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ (-4)² = üs parantez dışında olduğu için parantezin bir önemi vardır.Üs çift olduğu için sonuç pozitif olur.

➡ (-4)² = 4² olur.

➡ 4² = 4×4

➡ 16

✅ Yukarıdaki iki örneği incelediğimizde (-4² )≠(-4)² olduğunu görürüz.

Tam Sayıların Negatif Kuvvetini Bulma

Bilgi: a sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere n tam sayısı için a^-n =1/aⁿ

✅ Sıfırdan farklı tam sayıların negatif tam sayı kuvvetleri bulurken o sayının çarpma işlemine göre tersi alınır ve üs kadar çarpılır.

✅ Üssü negatif olan üslü sayıların sonucunu bulurken önce üssü pozitif yapmalıyız. Üssü pozitif yapmak için tabandaki sayıyı ters çeviririz.

Örnek: 3^-2 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ üs negatif olduğu için üssü pozitif yapmamız lazım. Üssü pozitif yapmak için tabandaki sayıyı ters çeviririz.

Örnek: 3^-2 = \dfrac{1}{3^2}

\dfrac{1}{3} × \dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{9}

Örnek: 2^-5 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ üs negatif olduğu için üssü pozitif yapmamız lazım. Üssü pozitif yapmak için tabandaki sayıyı ters çeviririz.

2^-5 = \dfrac{1}{2^5}

\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{32}

Örnek: 5^-3 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ üs negatif olduğu için üssü pozitif yapmamız lazım. Üssü pozitif yapmak için tabandaki sayıyı ters çeviririz.

5^-3 = \dfrac{1}{5^3}

\dfrac{1}{5} × \dfrac{1}{5} × \dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{125}

Not: Hem üs hemde taban negatif olursa aşağıdaki adımları takip ederiz.

✅ tabanın işaretini tespit et

✅ üssün işaretini pozitife çevir

✅ üslü ifadenin sonucunu bul.

Örnek: (-4)^-2 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ tabanın işaretini tespit et

(-4)^-2 =üs çift olduğu için taban pozitif olur = 4^-2

➡ üssün işaretini pozitife çevir

4^-2 = \dfrac{1}{4^2}

➡ üslü ifadenin sonucunu bul

\dfrac{1}{4} × \dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{16}

Örnek: (-2)^-5 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ tabanın işaretini tespit et

(-2)^-5 =üs tek olduğu için taban negatif olur = -2^-5

➡ üssün işaretini pozitife çevir

2^-5 = \dfrac{1}{2^5}

➡ üslü ifadenin sonucunu bul

\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{32}

Örnek: -3^-4 üslü ifadesinin değerini bulalım.

➡ tabanın işaretini tespit et

-3^-4 =taban parantez içinde olmadığı için taban negatif olur = -3^-4

➡ üssün işaretini pozitife çevir

-3^-4 = – \dfrac{1}{3^4}

➡ üslü ifadenin sonucunu bul

– \dfrac{1}{3} × \dfrac{1}{3} × \dfrac{1}{3} × \dfrac{1}{3}

– \dfrac{1}{81}

Örnek: 2^-2 + 2^-3 ifadesinin sonucunu bulalım.

➡ 2^-2 = \dfrac{1}{2^2}

\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{4}

➡ 2^-3 = \dfrac{1}{2^3}

\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{8}

➡ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} Paydaları eşitlememiz gerekir.

\dfrac{1×2}{4×2} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8}

\dfrac{3}{8}

Örnek: Aşağıdaki ifadelerde verilmeyen üsleri bulalım.

✅ ( – \dfrac{1}{5} )×( – \dfrac{1}{5} )×( – \dfrac{1}{5} ) = 5^🔺 ise 🔺 ifadesinin değerini bulalım.

➡ \dfrac{1}{5} = 5^-1 ise

➡ ( – \dfrac{1}{5} )×( – \dfrac{1}{5} )×( – \dfrac{1}{5} ) = -5^-3 olur.

➡ 🔺 =-3

✅ \dfrac{1}{16} = 2^🔺 ise 🔺 ifadesinin değerini bulalım.

➡ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}

➡ \dfrac{1}{2} = 2^-1 ise

➡ \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} = 2^-4 olur.

➡ 🔺 =-4

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Soru:

Aşağıda 16 eş bölmeye ayrılmış birbirine eş iki cam levha verilmiştir.

Bu cam levhalardan;

• Şekil 1’deki cam levha içerisindeki üslü ifadelerden sonucu pozitif olanlar sarı renge , sonucu negatif olanlar kırmızı renge boyanacaktır.

• Şekil 2’deki cam levha içerisindeki üslü ifadelerden sonucu pozitif olanlar kırmızı renge , sonucu negatif olanlar sarı renge boyanacaktır.

Bu cam levhalar üst üste getirildiğinde sarı ve kırmızı rengin karışımı turuncu olarak gözükmektedir.

Buna göre bu cam levhalar üst üste geldiği zaman görüntüsü aşağıdakilerden hangisi gibi olur?

A)	B)
C)	D)

Çözüm: